值完班,看《高等代数》白皮书,例1.4 测试用

  刚刚值完班,人很疲惫,也不太想动,所以想写写东西。工作以来,遇到许多事情,各种鸡零狗碎。唯一能让人保持清醒的就是《数学分析》和《高等代数》。有所的事物都会骗人,就数学不会。   
If people do not believe that mathematics is simple, it is only because they do not realize how complicated life is.

von Neumann

  在我看来,von Neumann确实说的特别对。最近看了谢启鸿老师的《高等代数》(第四版),也就是是数学系同学们传说中的白皮书,也就是下面这本,目前这本是最新版的:

  书中的题目很多其实挺难的。笔者打算阅读该书过程中,遇到的一些题目的解法的详细过程分享出来。在数学领域,从不奢望有太大的建树,但是希望能多学一些,多一些见识。在Cnblogs上写下,也当做是生活中的一种记录。

  在第7页,例1.4中,有一题:
 (爪行行列式)计算n阶行列式,其中ai≠0  (2≤in):

\[{\huge \left| A \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{a_1}}&{{b_2}}&{{b_3}}& \cdots &{{b_n}}\\
{{c_2}}&{{a_1}}&0& \cdots &0\\
{{c_3}}&0&{{a_3}}& \cdots &0\\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
{{c_n}}&0&0& \cdots &{{a_n}}
\end{array}} \right|} \]

   这题中,加了条件ai≠0 (2≤in),因此题目解起来很容易:从第2列开始直到第n列,把第i(2≤in乘以并加到第一列上,这样的话,第一列的c1c2, .. , cn都被消去成0,即:

\[{\huge \left| A \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{a_1}{\rm{ - }}\sum\limits_{i = 2}^n {\frac{{{b_i}{c_i}}}{{{a_i}}}} }&{{b_2}}&{{b_3}}& \cdots &{{b_n}}\\
0&{{a_1}}&0& \cdots &0\\
0&0&{{a_3}}& \cdots &0\\
\vdots & \vdots & \vdots &{}& \vdots \\
0&0&0& \cdots &{{a_n}}
\end{array}} \right|} \]

  那么上述行列式化为上三角行列式,其结果为对角线元素的乘积:

\[{\huge \begin{array}{l}
\left| A \right| = ({a_1}{\rm{ - }}\sum\limits_{i = 2}^n {\frac{{{b_i}{c_i}}}{{{a_i}}}} ){a_2}{a_3} \cdots {a_n}\\
\;\;\;\;\; = {a_1}{a_2}{a_3} \cdots {a_n}\; - \;\sum\limits_{i = 2}^n {{a_2} \cdots {{\hat a}_i} \cdots {a_n}} {b_i}{c_i}
\end{array}} \]

  (其中表示ai不在后面的连乘式中);

  本来解到这儿,已经算是松口气了。但是原题目后面后面还有一个remark

  “去掉条件ai≠0 (2≤in),我们仍可以求出:

\[{\huge \left| A \right| = {a_1}{a_2}{a_3} \cdots {a_n}\; - \;\sum\limits_{i = 2}^n {{a_2} \cdots {{\hat a}_i} \cdots {a_n}} {b_i}{c_i}}\]
  ”

  具体的做法是谢老师也给出,“例如ai=0,则先按ci所在的行进行展开,再按bi所在的列进行展开,即得出结论”。当时看到这儿觉得挺神奇的,ai=0的话,也可以得出ai≠0一样的结论,尝试着进行推导,算了很久,也没算出来,终于在一个不眠之夜算出来了。

  设某个ai=0(只有一个):

\[{\huge \begin{array}{l}
{a_i} = 0,\forall j = i,{a_j} \ne 0\\
\left| A \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{a_1}}&{{b_2}}&{{b_3}}& \cdots &{{b_{i - 1}}}&{{b_i}}&{{b_{i + 1}}}& \cdots &{{b_n}}\\
{{c_2}}&{{a_2}}&0&0&0&0&0&0&0\\
{{c_3}}&0&{{a_3}}&0&0&0&0&0&0\\
\vdots &0&0& \vdots &0&0&0&0&0\\
{{c_{i - 1}}}&0&0&0&{{a_{i - 1}}}&0&0&0&0\\
{{c_i}}&0&0&0&0&{{a_i}}&0&0&0\\
{{c_{i + 1}}}&0&0&0&0&0&{{a_{i + 1}}}&0&0\\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
{{c_n}}&0&0&0&0&0&0&0&{{a_n}}
\end{array}} \right|
\end{array}} \]   

  上述的|A|确实很复杂,按书本上的提示,则先按ci所在的行进行展开,再按bi所在的列进行展开。其中,很关键的一个是按bi所在的列展开,bii-1列,而不是第i列,要不然算到猴年马月,都算不出来。依上述所示,那么原行列式等于:

\[{\huge \begin{array}{l}
\left| A \right| = {( - 1)^{i + 1}}{c_i}{( - 1)^{1 + i - 1}}{b_i}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{a_2}}&{}&{}&{}&{}&{}&{}\\
{}&{{a_3}}&{}&{}&{}&{}&{}\\
{}&{}& \cdots &{}&{}&{}&{}\\
{}&{}&{}&{{a_{i - 1}}}&{}&{}&{}\\
{}&{}&{}&{}&{{a_{i + 1}}}&{}&{}\\
{}&{}&{}&{}&{}& \cdots &{}\\
{}&{}&{}&{}&{}&{}&{{a_n}}
\end{array}} \right|\\
\;\;\;\;\; = - {c_i}{b_i}{a_2}{a_3} \cdots {a_{i - 1}}{a_{i + 1}} \cdots {a_n}
\end{array}} \]

  注意上述最后的结果,可以写成:

\[{\huge \begin{array}{l}
\left| \mathbf{\mathit{A} } \right| = - {a_2}{a_3} \cdots {a_{i - 1}}{a_{i + 1}} \cdots {a_n}{c_i}{b_i}\\
\;\;\;\;\;\;= \;({a_1}{a_2}{a_3} \cdots {a_{i - 1}}0{a_{i + 1}} \cdots {a_n})\;\; - ({a_3}{a_4} \cdots {a_{i - 1}}0{a_{i + 1}} \cdots {a_n}{c_i}{b_i})\; - \cdots - ({a_2}{a_3} \cdots {a_{i - 1}}{a_{i + 1}} \cdots {a_n}{c_i}{b_i})\;\\
\;\;\;\;\;\;\; - \cdots - ({a_2}{a_3} \cdots {a_{i - 1}}{a_{i + 1}} \cdots {a_n}{c_i}{b_i})\\
\;\;\;\; \;\;= {a_1}{a_2}{a_3} \cdots {a_n}\; - \;\sum\limits_{i = 2}^n {{a_2} \cdots {{\hat a}_i} \cdots {a_n}} {b_i}{c_i}
\end{array}} \]

QED.

  上述是在某一个ai=0的情况下算出来的,如果有多个ai=0的情况,那计算过程可能有点不太一样。有空再写一下,今晚先告一段落。虽然会失眠,但还是要让自己睡下去。

 

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